Pružný a plastický průřezový modul (Wel, Wpl) srozumitelně

Každá tabulka ocelových profilů uvádí dva průřezové moduly vedle sebe: pružný průřezový modul W_el a plastický průřezový modul W_pl. Odpovídají na dvě různé otázky o tomtéž průřezu namáhaném ohybem:

• Kdy začne materiál plastizovat? Pružná otázka, odpovídá W_el.
• Kdy je průřez úplně vyčerpán? Plastická otázka, odpovídá W_pl.

Oba moduly převádějí mez kluzu f_y na ohybový moment, oba proto mají rozměr objemu. Rozdíl je jen v předpokládaném průběhu napětí (trojúhelník u W_el, obdélníkové bloky u W_pl) a právě ten je klíčem k posudkům ohybu podle Eurokódu 3 i k tomu, proč se nosník IPE a uzavřený profil SHS chovají mezi prvním zplastizováním a kolapsem různě.

Dokud materiál zůstává pružný, mění se ohybové napětí po výšce lineárně: nulové je v neutrální ose procházející těžištěm, největší ve vlákně od ní nejvzdálenějším. Moment, při němž krajní vlákno právě dosáhne meze kluzu, řídí

Wel = I / zmax

kde I je moment setrvačnosti a z_max vzdálenost těžiště od krajního vlákna. M_el = W_el·f_y je moment prvního zplastizování: jediné vlákno na povrchu právě dosáhlo f_y, vše uvnitř je stále pružné.

V tom okamžiku se nestane nic dramatického: nosník se nezřítí, jen přestává být plně pružný. Materiál u neutrální osy se pořád fláká na zlomku své kapacity, průřez si tedy drží rezervu.

Zvyšujeme-li moment za první zplastizování, šíří se plastická oblast od povrchů dovnitř. Měkká ocel teče při prakticky konstantním napětí, takže se diagram zplošťuje: zóny na f_y rostou shora i zdola a pružné jádro se zmenšuje. V limitě jádro zmizí a celý průřez pracuje na mezi kluzu: obdélníkový blok napětí v tlaku vyvážený stejným blokem v tahu.

Z rovnováhy normálových sil musí být obě plochy stejné, takže plastická neutrální osa dělí průřez na dvě stejné plochy (u dvojose symetrických tvarů prochází těžištěm, jinak se posouvá). Plastický modul je součet statických momentů obou polovin k této ose:

Wpl = Stlak + Stah

a M_pl = W_pl·f_y je plný plastický moment. Za ním se průřez už jen otáčí při téměř konstantním momentu: vzniká plastický kloub, mechanismus, díky němuž spojité nosníky a rámy přerozdělují moment a unesou víc, než naznačuje první zplastizování.

Poměr W_pl/W_el, zvaný tvarový součinitel, je čistě geometrické číslo: měří, kolik momentu navíc leží mezi prvním zplastizováním a plastickým kloubem, nezávisle na velikosti profilu.

• Nízký tvarový součinitel (blízko jedné) znamená plochu soustředěnou u krajních vláken. Téměř vše pracuje naplno už pružně, plastická rezerva je malá.
• Vysoký tvarový součinitel znamená hodně plochy u neutrální osy, v pružném stavu nevyužité, tedy velkou skrytou rezervu.

Učebnicovým referenčním bodem je plný obdélník s tvarovým součinitelem přesně 1,5: polovina jeho plochy se tiskne k neutrální ose. Běžné tenkostěnné profily leží hluboko pod touto mezí; idealizovaný průřez ze dvou přírub bez stojiny by ležel na opačném konci, těsně nad jednou.

Porovnejme I-profil a čtvercový uzavřený profil kolem hlavní osy. IPE vkládá většinu plochy do dvou přírub u krajních vláken a u neutrální osy ponechává jen tenkou stojinu. Pružný trojúhelník příruby využívá téměř naplno, takže zplastizování přidá málo. I-profily mají mezi běžnými válcovanými rodinami nejnižší tvarové součinitele, jak ukazuje tabulka kolem profilu IPE 200:

Čtvercový uzavřený profil je uspořádán jinak: jako příruby působí jen jeho horní a dolní stěna, zatímco obě boční stěny probíhají celou výškou jako zdvojená stojina. Větší podíl plochy sedí uprostřed výšky, v pružném stavu nevyužit, což tvarový součinitel trubky jako SHS 150/8 posouvá nad hodnoty I-nosníků, stále však hluboko pod obdélníkovou mez 1,5:

Kruhové trubky jdou tímto směrem ještě dál, protože se jejich stěny od krajního vlákna vzdalují pozvolna. Pravidlo zní: čím víc rodina soustředí materiál do krajních vláken, tím menší má plastickou rezervu: pružná účinnost a plastická rezerva jsou dvě strany téže geometrické mince.

Plastická únosnost je skutečná jen tehdy, když průřez dokáže plný blok napětí vyvinout a udržet, aniž by tlačené štíhlé části dřív lokálně vyboulily. EN 1993-1-1 to řeší klasifikací průřezů podle poměrů šířky a tloušťky:

1. Třída 1 dosáhne M_pl a otáčí se jako plastický kloub: Mc,Rd = Wpl·fy/γM0, plastická analýza konstrukce dovolena.
2. Třída 2 dosáhne M_pl s omezenou rotační kapacitou: stále Mc,Rd = Wpl·fy/γM0, globální analýza však pružná.
3. Třída 3: lokální boulení plnému zplastizování zabrání, takže Mc,Rd = Wel·fy/γM0.
4. Třída 4 vyboulí před prvním zplastizováním: místo W_el nastupuje efektivní modul W_eff redukovaného průřezu.

S doporučenou hodnotou γM0 = 1,0 je návrhová ohybová únosnost třídy 1 či 2 prostě plastický moment. Většina válcovaných I-nosníků i za tepla tvářených uzavřených profilů v běžných jakostech vychází v ohybu jako třída 1 nebo 2. Vždy ale nejdřív klasifikujte, protože třída závisí na jakosti oceli i na tom, zda je prvek ohýbán, nebo tlačen. A držte dělbu práce: W_pl či W_el rozhodují o únosnosti v MSÚ, průhyby v MSP počítá vždy pružná tuhost I, bez ohledu na třídu.