Poloměr setrvačnosti a vzpěr tlačených prutů dle Eurokódu 3

Aktualizováno 2026-09-01 · CrossSections

Poloměr setrvačnosti i = √(I/A) vyjadřuje, jak daleko od osy je rozložena plocha průřezu. Převádí vzpěrnou délku na štíhlost λ = Lcr/i, která přes křivky vzpěrné pevnosti a0–d určuje součinitel vzpěrnosti χ. Sloup selže téměř vždy kolem osy s menším i.

Co poloměr setrvačnosti skutečně vyjadřuje

Plocha A říká, kolik oceli vzdoruje prostému tlaku; moment setrvačnosti I, jak je průřez tuhý v ohybu. Poloměr setrvačnosti obě veličiny spojuje:

i = √(I/A)

Představte si, že celou plochu průřezu soustředíte do tenkého prstence ve vzdálenosti i od těžištní osy: takový prstenec by měl přesně stejnou ohybovou tuhost jako skutečný průřez. Poloměr setrvačnosti je tedy čistou mírou efektivity tvaru: udává, jak daleko od osy materiál v průměru leží, bez ohledu na to, kolik ho je. Dva průřezy mohou mít stejnou plochu a přitom zcela odlišné i. A právě i, nikoli samotné A nebo I, rozhoduje o chování tlačeného prutu.

Protože se moment setrvačnosti vztahuje k ose, platí to i pro poloměr setrvačnosti. Každý profil má i_y k silné ose a i_z ke slabé ose; úhelníky mají navíc i_v k šikmé hlavní vedlejší ose v–v. Dutý průřez odsouvá materiál od obou os současně, proto mají trubky nejvyšší poloměr setrvačnosti na kilogram ze všech běžných tvarů a proto jsou tak dobrými sloupy.

Od štíhlosti k poměrné štíhlosti

Kloubově uložený prut o vzpěrné délce L_cr ztrácí stabilitu při Eulerově kritické síle N_cr = π²EI/L_cr², kde E = 210 000 MPa platí pro všechny pevnostní třídy konstrukční oceli. Podílem vzpěrné délky a poloměru setrvačnosti dostaneme klasickou štíhlost:

λ = L_cr/i

Štíhlost je bezrozměrná a čistě geometrická: porovnává délku prutu s tím, jak účinně jeho průřez vzdoruje vybočení. Krátký, masivní sloup (malé λ) se rozdrtí tlakem; štíhlý sloup (velké λ) vybočí dávno předtím, než ocel doteče.

Eurokód 3 jde ještě o krok dál a štíhlost normuje vůči materiálu, takže jedna sada návrhových křivek platí pro všechny třídy oceli:

λ̄ = √(A·f_y/N_cr) = λ/λ₁, kde λ₁ = π√(E/f_y)

Poměrná štíhlost λ̄ porovnává plastickou únosnost A·f_y s kritickou silou. Při λ̄ = 1 jsou si obě rovny; je to klasický přechod mezi plastickým selháním a pružným vzpěrem. Pod hodnotou λ̄ = 0,2 dovoluje Eurokód 3 vzpěr zcela zanedbat. Vyšší třída oceli zvyšuje f_y, a tím při stejné geometrii i λ̄. U štíhlých sloupů proto pevnější ocel přináší překvapivě málo, protože o vzpěru rozhoduje modul E.

Křivky vzpěrné pevnosti a0–d a součinitel imperfekce

Skutečné sloupy nejsou nikdy dokonalé: nesou reziduální pnutí z válcování nebo svařování, počáteční zakřivení a drobné výstřednosti zatížení. EN 1993-1-1 to vše shrnuje do jediného součinitele imperfekce α a pěti křivek vzpěrné pevnosti:

křivka a₀: α = 0,13 (téměř dokonalé pruty, např. válcované průřezy z vysokopevnostní oceli)
křivka a: α = 0,21
křivka b: α = 0,34
křivka c: α = 0,49
křivka d: α = 0,76 (pruty nejcitlivější na imperfekce)

Křivka převádí λ̄ na součinitel vzpěrnosti χ ≤ 1 pomocí Φ = 0,5·[1 + α·(λ̄ − 0,2) + λ̄²] a χ = 1/(Φ + √(Φ² − λ̄²)). Návrhová vzpěrná únosnost je pak jednoduše

N_b,Rd = χ·A·f_y/γ_M1, přičemž ve většině národních příloh je γ_M1 = 1,0.

Křivky se nejvíce rozcházejí kolem λ̄ ≈ 1, kde reziduální pnutí se vzpěrem nejsilněji interagují: tam činí rozdíl mezi křivkou a a křivkou d značnou část únosnosti, takže volba nesprávné křivky není zaokrouhlovací chyba.

Která křivka patří které rodině průřezů

Křivku přiřazuje tabulka 6.2 normy EN 1993-1-1 podle způsobu výroby, tvaru průřezu a osy vybočení:

Za tepla tvářené duté průřezy (CHS, SHS, RHS): křivka a pro obě osy: nízká reziduální pnutí a příznivé rozložení napětí z nich dělají nejlépe hodnocenou rodinu v normě.
Za studena tvarované duté průřezy: křivka c pro obě osy. Tváření za studena vnáší reziduální pnutí po celém obvodu, takže geometricky totožný průřez je oproti svému za tepla tvářenému dvojčeti penalizován.
Válcované průřezy I a H: křivka závisí na poměru výšky k šířce h/b a na ose. Vysoké úzké průřezy s h/b > 1,2 (typicky IPE) mají křivku a k ose y–y a křivku b k ose z–z; širokopřírubové průřezy s h/b ≤ 1,2 (typicky HEA/HEB) mají křivku b k y–y a křivku c k z–z, u velmi tlustých pásnic platí křivky přísnější. Svařované průřezy I jsou zpravidla o jednu křivku horší než válcované.
Úhelníky (profily L): křivka b, vždy však s poloměrem setrvačnosti i_v k šikmé hlavní vedlejší ose v–v, který je menší než i_y i i_z k osám rovnoběžným s rameny.

Každá stránka profilu na tomto webu tato přiřazení uplatňuje automaticky: vestavěná kalkulačka zvolí správnou křivku vzpěrné pevnosti pro každou osu a vrátí N_b,Rd pro vaši vzpěrnou délku a třídu oceli.

Proč záleží na obou osách

Sloup si osu vybočení nevybírá: selže kolem té osy, která dává nejnižší χ·A·f_y, což při stejných vzpěrných délkách znamená osu s menším poloměrem setrvačnosti. U průřezů I je slabá osa dramaticky měkčí: stojina k I_z nepřispívá téměř ničím, takže i_z je jen zlomkem i_y. Širokopřírubové průřezy H tento rozdíl zmenšují; čtvercové a kruhové trubky ho odstraňují úplně.

Profil	iy [mm]	iz [mm]
HEA 100	40.6	25.1
HEA 120	48.9	30.2
HEA 140	57.3	35.2
HEA 160	65.7	39.8
HEA 180	74.5	45.2
HEA 200	82.8	49.8
HEA 220	91.7	55.1
HEA 240	100.5	60
HEA 260	109.7	65
HEA 280	118.6	70
HEA 300	127.4	74.9
HEA 320	135.8	74.9
HEA 340	144	74.6
HEA 360	152.2	74.3
HEA 400	168.4	73.4
HEA 450	189.2	72.9
HEA 500	209.8	72.4
HEA 550	229.9	71.5
HEA 600	249.7	70.5
HEA 650	269.3	69.7
HEA 700	287.5	68.4
HEA 800	325.8	66.5
HEA 900	362.9	65
HEA 1000	399.6	63.5

Praktický důsledek: pokud slabá osa není podepřena v kratších vzdálenostech než silná, rozhoduje vzpěr kolem slabé osy a moment setrvačnosti k silné ose, za který jste zaplatili, zůstane nevyužit. Proto jsou nepodepřené sloupy průřezy H nebo trubky, a proto může chytré rozmístění ztužení, například podepření osy z–z v polovině výšky, obě štíhlosti vyrovnat a umožnit lehčí profil.

Úhelníky vyžadují zvláštní pozornost: jejich hlavní osy u–u a v–v jsou vůči ramenům pootočeny a rozhodující poloměr setrvačnosti i_v je menší než kterákoli hodnota k osám rovnoběžným s rameny.

Profil	iy [mm]	iv [mm]
L 30×20/3	9.4	4.2
L 30×20/4	9.2	4.2
L 40×20/4	12.6	4.2
L 40×25/4	12.6	5.3
L 45×30/4	14.2	6.4
L 50×30/5	15.7	6.4
L 60×30/5	19	6.3
L 60×40/5	18.9	8.6
L 60×40/6	18.8	8.6
L 65×50/5	20.5	10.7
L 70×50/6	22	10.7
L 75×50/6	23.7	10.8
L 75×50/8	23.5	10.7
L 80×40/6	25.5	8.4
L 80×40/8	25.3	8.4
L 80×60/7	25.1	12.8
L 100×50/6	32.1	10.7
L 100×50/8	31.9	10.6
L 100×65/7	31.7	14
L 100×65/8	31.6	14
L 100×65/10	31.4	13.9
L 100×75/8	31.4	16
L 100×75/10	31.2	15.9
L 100×75/12	31	15.9
L 120×80/8	38.2	17.4
L 120×80/10	38	17.2
L 120×80/12	37.7	17.1
L 125×75/8	40	16.3
L 125×75/10	39.7	16.1
L 125×75/12	39.5	16.1
L 135×65/8	43.4	13.8
L 135×65/10	43.1	13.7
L 150×75/9	48.2	16
L 150×75/10	48.1	16
L 150×75/12	47.9	15.9
L 150×75/15	47.5	15.8
L 150×90/10	48	19.5
L 150×90/12	47.7	19.4
L 150×90/15	47.4	19.3
L 150×100/10	47.8	21.7
L 150×100/12	47.6	21.6
L 200×100/10	64.6	21.5
L 200×100/12	64.3	21.4
L 200×100/14	64.1	21.2
L 200×100/15	64	21.2
L 200×150/12	63.6	32.5
L 200×150/15	63.3	32.3

U úhelníků rozhoduje pro vzpěr vedlejší hlavní osa v–v.

Volba průřezu sloupu v praxi

Složíme-li vše dohromady, vychází pro centricky tlačený sloup jednoduchá rozhodovací logika:

Obě osy nepodepřené a stejné vzpěrné délky? Volte průřezy s i_y ≈ i_z: SHS/CHS (za tepla tvářené, křivka a pro obě osy) nebo širokopřírubové HEA/HEB. IPE je zde špatný sloup: jeho malé i_z žene λ̄ nahoru a χ dolů a jeho výborné vlastnosti k silné ose přijdou vniveč.
Slabá osa podepřená? Porovnání se mění: s drženou osou z–z lze silnou osu IPE plně využít a profil může být opět konkurenceschopný.
Hlídejte způsob výroby. Za studena tvarovaný SHS leží na křivce c, zatímco za tepla tvářený téže velikosti na křivce a; při středních štíhlostech může tento rozdíl sám rozhodnout posudek.
Úhelníky a členěné pruty: posuzujte osu v–v a pamatujte, že připojení jedním ramenem přidává ke vzpěru ještě výstřednost.

Praktická pravidla jsou startovní bod, nikoli posudek. Otevřete libovolný profil v tabulkách HEA, SHS nebo úhelníků, zadejte vzpěrné délky a kalkulačka vrátí χ a N_b,Rd pro každou osu se správně přiřazenou křivkou vzpěrné pevnosti podle Eurokódu 3.

Časté otázky

Jaký je fyzikální význam poloměru setrvačnosti?

i = √(I/A) je vzdálenost od osy, do níž by bylo možné soustředit celou plochu průřezu při zachování stejné ohybové tuhosti. Vyjadřuje, jak účinně tvar rozmisťuje materiál daleko od osy, a právě to vzdoruje vzpěru tlačeného prutu.

Jaký je rozdíl mezi štíhlostí λ a poměrnou štíhlostí λ̄?

λ = Lcr/i je čistě geometrická. λ̄ = √(A·fy/Ncr) navíc zohledňuje třídu oceli porovnáním plastické únosnosti s Eulerovou kritickou silou, takže jedna sada křivek vzpěrné pevnosti platí pro všechny třídy. Vzpěr lze zanedbat při λ̄ ≤ 0,2.

Proč mají za studena tvarované duté průřezy horší křivku než za tepla tvářené?

Tváření za studena vnáší do průřezu výrazná reziduální pnutí po celém obvodu. EN 1993-1-1 proto za studena tvarovaným dutým průřezům přiřazuje křivku c (α = 0,49), zatímco za tepla tvářené používají křivku a (α = 0,21). Geometrie může být totožná, únosnost nikoli.

Kolem které osy se vzpírá úhelník?

Kolem šikmé hlavní vedlejší osy v–v. Její poloměr setrvačnosti iv je menší než hodnoty k osám rovnoběžným s rameny, takže při stejných vzpěrných délkách posudek k ose v–v vždy rozhoduje. Eurokód 3 přiřazuje úhelníkům křivku vzpěrné pevnosti b.