Ocelové úhelníky: hlavní osy u–v a úhel α srozumitelně
Úhelník nemá osu symetrie rovnoběžnou s rameny, a proto jsou jeho nejtužší a nejměkčí směry pootočené hlavní osy u–v. Průvodce vysvětluje α = 45° u rovnoramenných, tan α u nerovnoramenných úhelníků, invariant Iu + Iv = Iy + Iz, vzpěr kolem v–v i záludnosti ohybu.
Proč je nejtužší směr úhelníku pootočen
Válcovaný ocelový úhelník tvoří dvě obdélníková ramena spojená v patě. Přirozeně jej popisujeme geometrickými osami y–y a z–z rovnoběžnými s rameny: tak jsou tabelovány rozměry i hodnoty Iy a Iz. Na rozdíl od profilů I nebo H ale úhelník nemá žádnou osu symetrie rovnoběžnou s ramenem. V soustavě y–z proto není nulový deviační moment Iyz (člen, který svazuje ohyb kolem jedné osy s křivostí kolem osy druhé).
Důsledek: osy y–y a z–z nejsou směry extrémní tuhosti. Otočíme-li souřadnou soustavu, existuje právě jedna poloha, ve které deviační moment vymizí. To jsou hlavní osy u–u a v–v, skloněné vůči geometrickým osám o úhel α. Kolem osy u–u dosahuje moment setrvačnosti maxima Iu, kolem osy v–v minima Iv. Takovou dvojici os má každý průřez. U dvojosě symetrických tvarů prostě splývá s osami y–y a z–z, a proto se celá otázka viditelně projeví až u úhelníků a dalších nesymetrických profilů.
Rovnoramenný úhelník: α = 45° ze symetrie
Rovnoramenný úhelník jednu osu symetrie má: osu půlící úhel mezi rameny, procházející patou profilu. Osa symetrie je vždy zároveň hlavní osou, takže u–u leží na této ose a v–v je k ní kolmá. Tím je dáno α = 45° přesně, pro každý rovnoramenný úhelník bez ohledu na velikost ramen i tloušťku. Typickým příkladem je L 50×50×5.
Pozor na jemnost: symetrie sice dává Iy = Iz, ale ani jedna z těchto hodnot není extrém. Průřez je výrazně tužší kolem osy symetrie (Iu) a výrazně měkčí kolem směru na ni kolmého (Iv). I rovnoramenný úhelník proto potřebuje hodnoty k hlavním osám, kdykoli posuzujeme tuhost nebo vzpěr: pohodlné osy rovnoběžné s rameny říkají jen část pravdy.
Nerovnoramenný úhelník: tan α najdete v tabulkách
U nerovnoramenného úhelníku symetrie zmizí a α už není 45°. Silná osa u–u se natáčí k delšímu rameni a čím větší je rozdíl ramen, tím více α klesne pod 45°. Žádná jednoduchá geometrická zkratka neexistuje, a proto tabulky pro každý profil uvádějí vedle momentů setrvačnosti i hodnotu tan α:
| Profil | Iy [cm⁴] | Iz [cm⁴] | Iu [cm⁴] | Iv [cm⁴] | tan α |
|---|---|---|---|---|---|
| L 30×20/3 | 1.3 | 0.4 | 1.4 | 0.3 | 0.427 |
| L 40×25/4 | 3.9 | 1.2 | 4.3 | 0.7 | 0.380 |
| L 60×30/5 | 15.6 | 2.6 | 16.5 | 1.7 | 0.255 |
| L 65×50/5 | 23.2 | 11.9 | 28.8 | 6.3 | 0.577 |
| L 75×50/8 | 52.0 | 18.4 | 59.6 | 10.8 | 0.430 |
| L 80×60/7 | 59.0 | 28.4 | 72.0 | 15.4 | 0.546 |
| L 100×65/7 | 113.0 | 37.6 | 128.0 | 22.0 | 0.415 |
| L 100×75/8 | 133.0 | 64.1 | 162.0 | 34.6 | 0.547 |
| L 120×80/8 | 226.0 | 80.8 | 260.0 | 46.6 | 0.437 |
| L 125×75/8 | 247.0 | 67.6 | 274.0 | 40.9 | 0.360 |
| L 135×65/8 | 291.0 | 45.2 | 307.0 | 29.4 | 0.245 |
| L 150×75/10 | 501.0 | 85.8 | 532.0 | 55.3 | 0.261 |
| L 150×90/10 | 533.0 | 146.0 | 591.0 | 88.3 | 0.360 |
| L 150×100/10 | 553.0 | 198.0 | 637.0 | 114.0 | 0.438 |
| L 200×100/12 | 1440.0 | 247.0 | 1530.0 | 159.0 | 0.262 |
| L 200×150/12 | 1650.0 | 803.0 | 2020.0 | 430.0 | 0.552 |
Zobrazen je každý třetí profil. Kompletní tabulka je na stránce rodiny LU.
Na řádku jako L 100×65×7 je vzor dobře vidět: Iu převyšuje obě hodnoty k osám rovnoběžným s rameny, Iv je menší než kterákoli z nich a tan α udává, o kolik jsou hlavní směry vůči ramenům pootočeny. V ručním výpočtu týž úhel poslouží k rozkladu ohybového momentu působícího kolem geometrické osy na složky kolem u–u a v–v.
Invariant, který zkontroluje všechno: Iu + Iv = Iy + Iz
Otočení souřadných os přerozdělí momenty setrvačnosti, ale nikdy nezmění jejich součet: polární moment k těžišti je dán. Invariant Iu + Iv = Iy + Iz proto platí přesně pro každý průřez; je to obdoba Mohrovy kružnice známé z napjatosti. S natáčením os jeden moment roste na úkor druhého, až v poloze hlavních os dosáhnou extrémů Iu (maximum) a Iv (minimum). V té chvíli je deviační moment nulový.
Získáváte tím kontrolu zdarma: u každého tabulkového řádku i každého ručního výpočtu se součet hlavních momentů musí rovnat součtu geometrických, přičemž Iu nesmí být menší než větší z dvojice Iy, Iz a Iv nesmí být větší než menší z ní. Pokud spočtené α nebo transformované hodnoty tuto identitu poruší, je chyba v aritmetice, ne v teorii.
Vzpěr probíhá kolem osy v–v
Kloubově uložený tlačený prut vybočí kolem osy s nejmenším poloměrem setrvačnosti. U samostatného úhelníku je to vždy vedlejší hlavní osa v–v s poloměrem iv, bez ohledu na to, jak jsou ramena v konstrukci natočena. Posouzení vzpěru úhelníkové diagonály jen kolem os y–y či z–z tedy únosnost nadhodnocuje; prut si slabý šikmý směr najde sám.
| Profil | iy [mm] | iv [mm] |
|---|---|---|
| L 30×20/3 | 9.4 | 4.2 |
| L 30×20/4 | 9.2 | 4.2 |
| L 40×20/4 | 12.6 | 4.2 |
| L 40×25/4 | 12.6 | 5.3 |
| L 45×30/4 | 14.2 | 6.4 |
| L 50×30/5 | 15.7 | 6.4 |
| L 60×30/5 | 19 | 6.3 |
| L 60×40/5 | 18.9 | 8.6 |
| L 60×40/6 | 18.8 | 8.6 |
| L 65×50/5 | 20.5 | 10.7 |
| L 70×50/6 | 22 | 10.7 |
| L 75×50/6 | 23.7 | 10.8 |
| L 75×50/8 | 23.5 | 10.7 |
| L 80×40/6 | 25.5 | 8.4 |
| L 80×40/8 | 25.3 | 8.4 |
| L 80×60/7 | 25.1 | 12.8 |
| L 100×50/6 | 32.1 | 10.7 |
| L 100×50/8 | 31.9 | 10.6 |
| L 100×65/7 | 31.7 | 14 |
| L 100×65/8 | 31.6 | 14 |
| L 100×65/10 | 31.4 | 13.9 |
| L 100×75/8 | 31.4 | 16 |
| L 100×75/10 | 31.2 | 15.9 |
| L 100×75/12 | 31 | 15.9 |
| L 120×80/8 | 38.2 | 17.4 |
| L 120×80/10 | 38 | 17.2 |
| L 120×80/12 | 37.7 | 17.1 |
| L 125×75/8 | 40 | 16.3 |
| L 125×75/10 | 39.7 | 16.1 |
| L 125×75/12 | 39.5 | 16.1 |
| L 135×65/8 | 43.4 | 13.8 |
| L 135×65/10 | 43.1 | 13.7 |
| L 150×75/9 | 48.2 | 16 |
| L 150×75/10 | 48.1 | 16 |
| L 150×75/12 | 47.9 | 15.9 |
| L 150×75/15 | 47.5 | 15.8 |
| L 150×90/10 | 48 | 19.5 |
| L 150×90/12 | 47.7 | 19.4 |
| L 150×90/15 | 47.4 | 19.3 |
| L 150×100/10 | 47.8 | 21.7 |
| L 150×100/12 | 47.6 | 21.6 |
| L 200×100/10 | 64.6 | 21.5 |
| L 200×100/12 | 64.3 | 21.4 |
| L 200×100/14 | 64.1 | 21.2 |
| L 200×100/15 | 64 | 21.2 |
| L 200×150/12 | 63.6 | 32.5 |
| L 200×150/15 | 63.3 | 32.3 |
U úhelníků rozhoduje pro vzpěr vedlejší hlavní osa v–v.
V praxi se úhelníkové diagonály šroubují jedním ramenem na styčníkový plech, takže normálová síla působí excentricky k těžišti. Normy to řeší upravenou (ekvivalentní) štíhlostí pro úhelníky připojené jedním ramenem místo explicitního šikmého ohybu. I tato štíhlost ale vychází z iv, a proto ji tabulky zdůrazňují.
Ohyb úhelníku je záludnější, než vypadá
Zatížíte-li volný úhelník v rovině rovnoběžné s ramenem, ohýbáte jej kolem osy, která není hlavní. Protože Iyz ≠ 0, vzniká šikmý (nesymetrický) ohyb: nosník se prohne mimo rovinu zatížení, neutrální osa je skloněná a extrémní napětí se objeví v patě a na koncích ramen jinde, než kam by je umístil vzorec pro symetrický nosník. Korektní postup je rozložit moment na složky kolem u–u a v–v, sečíst obě pole napětí a zkontrolovat složky průhybu v obou hlavních směrech, nebo rovnou zatěžovat v hlavní rovině.
Tím se vysvětluje, kde se úhelníky používají. V příhradových konstrukcích a ztužidlech přenášejí především normálovou sílu, kde rozhodují jen plocha a iv. Jako překlady nad otvory ve zdivu fungují nerovnoramenné úhelníky s delším ramenem svisle; zdivo nad nimi brání vodorovné složce průhybu, záludná část šikmého ohybu se tím potlačí a jednoduchý posudek ke geometrické ose je obhajitelný. Volný, bočně nedržený úhelníkový nosník si ale zaslouží plný výpočet k hlavním osám.